4/3 という数字
シラキュース変数の特性関数を、
ただ見る
Collatz 予想の核心にある確率変数。その特性関数のピークが、どこに立つのか。n を 21 まで計算機で押し上げて、ただ眺めた記録。証明はない。観察があるだけ。
これは論文ではなく、ノートだ。
仕事の合間に、趣味で数論をいじっている。素数や Collatz のような、単純な顔をして誰にも解けない問題が好きで、休みの日に少しずつ計算機を回す。今回もそういう、いわば日曜大工だった。Tao 先生の証明の心臓部にある確率変数の特性関数を、ただ自分の目で見たくなって、n を 1 から上げていったら——気づけば n=21、70 億点の計算まで来てしまっていた。
見えたものが、思ったより綺麗だった。ピークの位置が、傾き 4/3 でまっすぐ歩いていく。せっかくなので観察を整理して、コードと数値データごと Zenodo に DOI 付きで置いた(下のリンク)。誰かが続きを計算したくなったとき、そのまま再現できるように。
証明は何もしていない。Collatz 予想にも寄与しない。ただ、覗いた中身が面白かったから、書き留めておく。
まず、3N+1 の話から
正の整数を一つ選ぶ。偶数なら 2 で割る。奇数なら 3 倍して 1 足す。これを繰り返すと、どんな数から始めても、いつか 1 にたどり着く——のか?
これが Collatz 予想だ。1937 年から、誰も証明できていない。問いの形はこれ以上ないほど単純なのに、誰の手にも負えない。
2019 年、Terence Tao がこの問題に大きな風穴を開けた。「ほとんどすべての」軌道が、ほとんど有界な値に到達することを示したのだ。その証明の技術的な心臓部にあるのが、シラキュース確率変数(Syracuse random variable)と呼ばれる対象だった。
よく散らばっている、とは何か。フーリエの言葉で言えば、特性関数(フーリエ変換)のピークが低いということだ。ピークが高ければ、その周波数に確率質量が偏っている。低ければ、平らに散っている。Tao は、このピークが n とともに「どんな多項式よりも速く」沈んでいくことを証明した。
だが、ピークがどこに立つかは言わない。
2 は、3 の世界の母音である
特性関数のピークの「位置」を語るには、座標がいる。ここで効いてくるのが、初等整数論の古典的な事実だ。
2 は、すべての n について 3n を法とする原始根である。 つまり、3 で割り切れないすべての周波数 ξ は、2 の累乗 ξ = 2k mod 3n としてただ一通りに書ける。2 の冪を回していけば、3 と互いに素な周波数を全部、漏れなく一度ずつ踏む。
だから、周波数を ξ で見るのをやめて、指数 k で見る。これがこのノートの視点の全てだ。特性関数を k の関数として並べ直し、それを ψn(k) と呼ぶ。そして、その絶対値が最大になる k を k*(n) と書く。
ピークは、傾き 4/3 で歩いていく
n を 1 から 21 まで上げながら、ψn を全領域で計算した。n=21 では定義域が 2·320 ≈ 70 億点に達する。各 n でピークの位置 k*(n) を記録して並べると——きれいに、ほぼ一直線に伸びていく。傾きは、4/3 のあたり。
24 ÷ 18 = 4/3。誤差ゼロで。
14 回連続で当たった式が、18 で外れる
傾き 4/3 を、整数の予測式に落とすと ⌊4(n−1)/3⌋ という単純な床関数になる。これを並べてみると、最初は不気味なほどよく当たる。n=4 から 17 まで、14 連続で完全一致。一目見れば、構造的な恒等式だと思いたくなる。
ところが n=18 で、初めて外れた。予測 22 に対し、実測は 23。たった 1 のズレ。そして n=20 で +1、n=21 で +2。外れる n の集合は {2, 3, 18, 20, 21} ——範囲の端に固まっている。
面白いのは、式が外れても、傾き 4/3 は壊れないことだ。n=21 でのズレは +2 だが、それでも k*(21)/21 = 4/3 はぴったり成り立つ。床関数の境界で +1 の「ゆらぎ」が出るだけで、根っこの線形性は保たれている。式は近似に過ぎないが、傾きは本物らしい。
ピークの高さは、どう沈むのか
位置だけでなく、高さも見た。ピークの値 Mn = max|ψn| を n に対してプロットすると、なめらかに減衰する。両対数で直線に乗せると、有限範囲(n=9〜21)では Mn ∼ C·n−2.1 という冪則でよく合う。
ただしこれは有限範囲の観察であって、漸近の主張ではない。Tao の上界は 超多項式減衰——どんな固定の冪 n−A よりも速い——を保証する。有限の窓で見た「実効的な冪 2.1」は、n が伸びれば少しずつ大きくなっていく可能性と矛盾しない。今の範囲では、そこまでは見えない。
数字そのもの
図にしたものの、生の表も置いておく。観察の全てがここにある。gn/Mn2 は、ピークが 2 番手をどれだけ引き離しているかの指標だ。
| n | Mₙ | k*(n) | ⌊4(n−1)/3⌋ | 差 | gₙ/Mₙ² |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5.7735e−1 | 0 | 0 | · | — |
| 2 | 3.7792e−1 | 2 | 1 | +1 | 0.654 |
| 3 | 2.5224e−1 | 3 | 2 | +1 | 0.406 |
| 4 | 1.7700e−1 | 4 | 4 | · | 0.421 |
| 5 | 1.2927e−1 | 5 | 5 | · | 0.394 |
| 6 | 9.6106e−2 | 6 | 6 | · | 0.106 |
| 7 | 7.5870e−2 | 8 | 8 | · | 0.105 |
| 8 | 6.0891e−2 | 9 | 9 | · | 0.220 |
| 9 | 4.8026e−2 | 10 | 10 | · | 0.119 |
| 10 | 3.8278e−2 | 12 | 12 | · | 0.027 |
| 11 | 3.1944e−2 | 13 | 13 | · | 0.133 |
| 12 | 2.6458e−2 | 14 | 14 | · | 0.111 |
| 13 | 2.2052e−2 | 16 | 16 | · | 0.025 |
| 14 | 1.9128e−2 | 17 | 17 | · | 0.139 |
| 15 | 1.6284e−2 | 18 | 18 | · | 0.014 |
| 16 | 1.4409e−2 | 20 | 20 | · | 0.109 |
| 17 | 1.2511e−2 | 21 | 21 | · | 0.023 |
| 18 | 1.1187e−2 | 23 | 22 | +1 | 0.103 |
| 19 | 9.8157e−3 | 24 | 24 | · | 0.009 |
| 20 | 8.8846e−3 | 26 | 25 | +1 | 0.110 |
| 21 | 7.8721e−3 | 28 | 26 | +2 | 0.012 |
すべて IEEE 754 倍精度複素演算。独立な実装(原空間の再帰 → 離散フーリエ変換)との突き合わせを n≤8 で行い、相対誤差 10−10 以下で一致を確認した。n=20, 21 は 961 GB メモリのクラウド機で計算。
わからないこと
このノートに答えはない。観察を置いて、問いを開いたままにする。それこそが numerical open question 。
私はこの観察を、結論ではなく 記録 として残す。Collatz 予想そのものには、これは何も寄与しない。ただ、Tao 先生の証明の心臓部にある対象が、計算機の中でどう振る舞うかを、一度きちんと見ておきたかった。n を 21 まで押し上げると、ピークは傾き 4/3 で歩き、床関数は途中で 1 だけよろめいてから、 4/3 に戻ってくる。それが全部。
こんなようなことばかりしていると、、なぜこんなことをするのか、とたまに聞かれる。答えは単純で、単純な問いの奥に隠れている規則性を、自分の目で見たいから。何かの役に立つわけでもない。70 億点を計算して出てきたのが「4/3」という素朴な分数だった、という一点に、週末をいくつか使う価値があると思っている。ここからいつか得るものもあるかも知れないし、関連性のないと思われることの組み合わせが大きな発見につながるかも知れない。
もし n=22 から先を回せる人がいたら、ぜひ続きを見せてほしい。コードもデータも、そのために置いてある。